Háromdimenziós testek és felületek számítógépes modelljei és approximációs módszerei
computational geometry
computational topology
surface modeling
solid modeling
mesh operations
mesh cutting
mesh parametrization
successive integration
integrals of polynomials
integral transform
volume based metric
Fourier-series on Hilbert-space
adaptive approximation
Informatika D. I./Numerikus és szimbolikus számítások
számítógépes geometria
számítógépes topológia
felületmodellezés
testmodellezés
háló műveletek
háló vágás
háló paraméterezés
szukcesszív integrálás
polinomok integráljai
integráltranszformáció
térfogat alapú metrika
Hilbert-térbeli Fourier-sor
adaptív approximáció
Abstract:
A doktori értekezés a felületek és testek matematikai és számítógépes modelljeivel, valamint ezek approximációs módszereivel kapcsolatos eredményeimet foglalja össze.
Az 1. fejezetben áttekintettem a felhasznált geometriai és topológiai alapfogalmakat, bevezettem a számítógépes felület reprezentációhoz leginkább közel álló mátrixos jelölés módot, a vertex- és indexmátrixok fogalmát, relációit, műveleteit.
A 2. fejezetben arra kerestem a választ, hogy milyen tulajdonságokkal kell felruháznunk a háromdimenziós tér egy részhalmazát, hogy az a fizikai valóságban létező vagy létrehozható test, illetve annak határfelülete lehessen. Áttekintettem a számítógépes képszintézisrt és a \textit{ray casting} algoritmust, a felületek és testek leírására használt matematikai modelleket és számítógépes adatszerkezeteket. Az egyes modelleket egymással összehasonlítottam, majd bevezettem a fizikai felület és a fizikai test fogalmát, megmutattam, ezek milyen relációban vannak a korábban áttekintett modellekkel. Végül bevezettem a komputergrafikai felületmodell fogalmát, majd ennek jól definiáltságát és egyértelműségét tárgyaltam.
A 3. fejezetben áttekintettem, hogy a komputergrafikai felületmodell topológiai és geometriai tulajdonságain keresztül miképpen lehet ellenőrizni, hogy a felület fizikailag realizálható-e. Bevezettem a szétkapcsolás, összekapcsolás és befedés műveleteket, valamint a realizálható felületmodellek síkkal való elvágásának leírására adtam gyors algoritmust. Szukcesszív integrál formulákat adtam folytonos függvények két- és háromdimenziós poligonokon, valamint háromdimenziós poliédereken vett integráljai kiszámítására, továbbá a polinomokra vonatkozó integrálformulák kiszámításának megsegítéséhez megmutattam, hogy miképpen változik az integrandus affin transzformáció hatása alatt. Módszert adtam a poligonok optimális elforgatási szögének meghatározására, mellyel az integrálformulákban felmerülő numerikus hiba minimalizálható.
A 4. fejezetben megmutattam, hogy a halmazok szimmetrikus differenciájának mértéke a reguláris halmazok terén metrika. Tekintettem az egységgömb egy atomos dekompozícióját, amelyen ortonormált rendszert konstruáltam, és felírtam tetszőleges, az egységgömbön integrálható karakterisztikus függvény Hilbert-térbeli Fourier-sorát. Az atomos dekompozíció finomításával tetszőleges korlátos összefüggő reguláris halmaz egy közelítő sorozatát tudtam konstruálni, a közelítő sorozatnak kiszámítottam az egzakt hibáját, feltételt adtam annak konvergenciájára, monotonitására. Demonstráltam, miként konstruálható a kiválasztási és kettéosztási függvény segítségével adaptív approximációs algoritmus, ahol az egyes lépések kiszámításához speciális esetben a 3. fejezet műveletei használhatók. Az eljárás számos alkalmazási lehetőségét mutattam be, valamint arra a következtetésre jutottam, hogy jelen algoritmussal a korlátos összefüggő reguláris halmazok tetszőleges pontossággal megközelíthetők komputergrafikai felületmodellekkel.