Numerical computing of extremely large values of the Riemann-Siegel Z-function

Tihanyi, Norbert

Numerical computing of extremely large values of the Riemann-Siegel Z-function

Date: 2019

Subject: Műszaki tudományok/Informatikai tudományok
Prime Number Theory
Riemann-Siegel Z-function
Large Z(t) values
Diophantine approximation
Informatika D. I./Numerikus és szimbolikus számítások
Prímszámelmélet
Riemann-Siegel-féle Z-függvény
kiugró Z(t) értékek
Diofantikus approximáció

URI: http://hdl.handle.net/10831/46542

Link to Library Catalogue: https://opac.elte.hu/Record/opac-EUL01-988547

MTMT: 31195054

DOI: 10.15476/ELTE.2019.089

Abstract:

A PhD értekezés egy olyan hatékony algoritmust mutat be, amely a Riemann-Siegel Z-függvény kiugró értékeinek meghatározására szolgál. A Riemann-féle zeta függvény nagyon fontos szerepet játszik a matematika és a fizika különböző területein. A zeta függvény kritikus egyenesen elhelyezkedő nagy értékeinek meghatározása hozzásegíthet minket a prímszámok eloszlásának sokkal jobb megértéséhez. A doktori értekezés első részében egy olyan algoritmust készítettünk, amelynek segítségével gyorsan és hatékonyan tudjuk a Riemann-Siegel-Z függvényben szereplő többváltozós függvényt közelíteni nagyon sok n egészre. Módszerünk többdimenziós szimultán Diofantikus egyenletek approximációján alapul, melynek megoldására hatékony algoritmust mutattunk be (MAFRA algoritmus). Ezt az algoritmust felhasználva kidolgoztunk egy új algoritmust (RS-PEAK), amelynek segítségével gyorsan és hatékonyan lehet meghatározni a Riemann-féle zeta függvény kritikus egyenesen elhelyezkedő kiugró értékeit. Az RS-PEAK algoritmus segítségével az MTA SZTAKI Desktop GRID hálózatát felhasználva sikerült nagyon nagy Z(t) értékeket publikálni, köztük a ma ismert legnagyobbat is, ahol t=310678833629083965667540576593682.05-ra a Z(t) =16874.202 értéket kapjuk. A disszertáció írásának időpontjában ez a legnagyobb publikált Z(t) érték. A doktori értekezésben több a Z(t) értékhez kapcsolódó számítási rekordot publikáltunk.

Abstract:

In this PhD thesis we present an efficient algorithm called RS-PEAK which can be used to find extremely large values of the Riemann zeta function on the critical line. Locating peak values of the zeta function is a promising method for getting a better understanding of the distribution of prime numbers. We investigated multidimensional approximation problems and created an efficient algorithm called MAFRA to solve n-dimensional Diophantine approximation problems. MAFRA was used to generate candidates where large Z(t) values were expected. Using MAFRA and relying on the special behaviour of Z(t) we created the RS-PEAK algorithm using which we were able to locate a high number of large values of the Riemann zeta function on the critical line. The largest Z(t) value found by the RS-PEAK algorithm is Z(310678833629083965667540576593682.05) = 16874.202. To the best of our knowledge, at the time of writing this is the largest Z(t) ever calculated. The value was verified by the ATLAS super computing cluster operating at Eötvös Loránd University, Hungary. In this PhD thesis many new computational results regarding the Z(t) function were published.

Show full item record