Szorzatrendszer konstrukciók
construction of product systems
Walsh-like systems
Haar-like systems
orthogonal and biorthogonal systems
Informatika D. I./Numerikus és szimbolikus számítások
szorzatrendszer konstrukciók
Walsh-szerű rendszerek
Haar-szerű rendszerek
ortogonális- és biortogonális rendszerek
Absztrakt:
A doktori értekezés témája speciális szorzatrendszer-konstrukciók vizsgálata. Az ilyen rendszerek különösen fontosak a függvényapproximáció területén, ugyanis a rendszerre vonatkozó Fourier-együtthatók általánosított gyors Fourier transzformációval számolhatók, melyek műveletigénye lényegesen alacsonyabb a direkt formula által eredményezett műveletszámnál.
A konstrukciók három klasszikus rendszer – a Rademacher-, a Walsh-Paley- és a Haar-rendszer – speciális tulajdonságaira és kapcsolatára építenek. A disszertációban diszkrét ortogonális és biortogonális rendszerek konstrukciójának egy egyszerű és eléggé általános módszerét alkalmazzuk, kiindulva a rendszer Dirichlet-féle magfügvényeiből. Az ortogonális polinomok Dirichlet-féle magfüggvényeire vonatkozó Christoffel-Darboux-formulák alapján diszkrét ortogonális polinomokat szerkeszthetünk. A Walsh-Paley-féle rendszer kettő-hatvány indexű magfüggvényei a Paley-től származó formula alapján egy jól kezelhető, egyszerű alakban írhatók fel. Ez a formula annak a következménye, hogy a Walsh-rendszer a Rademacher-rendszer szorzatrendszere. Ugyanez a formula a Haar-típusú rendszerek konstrukciójának az alapja.
A Haar-szerű wavelet konstrukció alapötletéből kiindulva a szorzatrendszer konstrukció több általánosítását is bevezettük. Eljárásainkkal olyan adaptív biortogonális rendszerekhez jutottunk, melyek megőrízték a Haar-szerű waveletkonstrukció legfontosabb tulajdonságait, nevezetesen hogy a Haar-Fourier együtthatók általánosított FFT algoritmussal számolhatók. Így hatékony, jól kezelhető interpolációs eljárásokat konstruálhatunk, ráadásul az interpoláció alappont-rendszerét is a feladat igényeihez igazíthatjuk.
A dolgozatban bemutatunk továbbá egy speciális racionális interpolációs eljárást az alsó-, illetve felső-félsík úgynevezett Malmquist-Takenaka rendszereinek segítségével, melyet felhasználva egzakt interpolációt készíthetünk racionális függvények igen széles osztályára.